В «Началах» Евклида «золотое сечение» всплывает почти исключительно в связи с теорией многоугольников и многогранников. В «Тимее» Платона теория многогранников носит натурфилософский характер: задача сводится к установлению переходов между противоположными стихиями, огнем и землею, частицы которых мыслились в форме тетраэров и кубов. Такими посредствующими звеньями являлись вода и воздух. Пятое правильное тело, додекаэдр, соответствовало «небесной стихии» — эфиру. Иными словами, переход от одного правильного тела к другому должен был объяснить переход стихий друг в друга, процесс видоизменения материи. Как видно из предыдущего, отношение «золотого сечения» имеет место между ребром куба и ребром додекаэдра. Из теоремы, приведенной у Гипсикла, явствует, что деление в крайнем и среднем отношении позволяет определить отношение между ребром куба и ребром икосаэдра. Но показательно, что в натурфилософии «Тимея» «золотое» отношение не упоминается. Это опять указывает, что существо дела было для Платона в соотно- шених между многогранниками, а не в «золотом сечении», которое в лучшем случае могло рассматриваться как средство уточнить или определить это соотношение.
Напомню вкратце ход рассуждений в «Тимее». Пять стихий — земля, вода, воздух, огонь, эфир — мыслятся в виде частиц, имеющих форму шестигранников, двадцати-, восьми- и четырехгранников и двенадцатигранников. Эти многогранники разлагаются в конечном итоге на прямоугольные треугольники двух видов: треугольники равнобедренные и треугольники, представляющие собою половину равностороннего или, иначе говоря, такие, в которых гипотенуза вдвое больше одного из катетов). Четыре первых треугольника, соединенные вершинами прямого угла, дают грань шестигранника, или куба ; шесть треугольников второго типа, сложенных вместе, как показано на рис. 7.2, дают грани двенадцатигранника, восьмигранника и четырехгранника. Гранями додекаэдра являются пятиугольники. О них Платон подробнее не говорит.
гранников и диаметром сферы, тогда как Папп начинает со сферы и пытается определить тот малый круг ее, в который вписывается правильный многоугольник, являющийся гранью многогранника. Ср. общую характеристику у Р. Ver Eecke в введении к его французскому переводу: Pappus d’Alexandrie. La collection math&natique. Paris; Bruges, 1933. T. I. P. XXIILet XLVI.
Стихии, состоящие из треугольников одного типа, способны переходить друг в друга: вода — в воздух, воздух — в огонь и обратно. Стихия земли, состоящая из треугольников другого типа, не переходит в прочие. Путем подсчета числа первичных треугольников Платон определяет, сколько частей воздуха и воды получается из одной части огня и наоборот.
Из двух частей огня получается одна воздуха, из 21Л частей воздуха — одна воды и т. п. Словом, у Платона в теории многогранников еще ни звука нет о «золотом сечении» и его космической «силе».
В Средние века, как было уже сказано, «Начала» Евклида и «Ти- мей» Платона были основными источниками сведений о «золотом сечении». В XIII в. его касались комментатор Евклида Кампано и Леонардо Пизанский, в XIV в. — Альберт Саксонский в комментариях к Аристотелю.27
Поскольку издание сочинений Фибоначчи малодоступно, ниже приводится текст теорем о «золотом сечении» из его «Практики геометрии» в моем переводе: «Когда линия разделена в крайнем и среднем отношении, то, если продолжить больший отрезок на величину, равную половине разделенной линии, квадрат проведенной линии будет в 5 раз больше квадрата половины линии. Когда линия разделена на две части так, что квадрат всей
То принципиально новое, что выпукло выступает у Пачоли по сравнению с Платоном и другими авторами древности, писавшими о многогранниках, — это значение «золота» как такового. Прославляя дивные свойства «божественной пропорции», Пачоли считает нужным указать, что одним из таких ее свойств является установление связи между миром «земным» и миром «небесным». Мы уже видели, что отношение стороны куба и стороны додекаэдра равно 1:0,618. Точно так же деление в золотом отношении неизбежно появляется при построении пятиугольных граней «небесного тела», додекаэдра. В теории Пачоли «золотое отношение», игравшее у древних роль вспомогательного технического приема при построении и изучении многогранников, приобретает самодовлеющее, мистическое значение «совершенной» пропорции, связующей «горнее» и «дольнее».
Какие общие выводы можно сделать из этого краткого обзора? Во- первых, ни в одном из упомянутых источников не содержится указания на применение «золотого сечения» в архитектуре. Во-вторых, кроме не дошедшего до нас сочинения Евдокса и сочинения Пачоли, ни один из источников не трактовал вопроса о «золотом сечении» специально у ради него самого. В-третьих, совершенно ясно видно, что к вопросам «золотого сечения» вплотную подводили исследования многоугольников и правильных многогранников. Наконец, следует заметить, что теоретическое исследование «золотого сечения» начинается в древней Греции позднее, нежели создание тех сооружений, в которых обнаруживали его наличие.
линии в 5 раз больше меньшего отрезка, то следует продолжить больший отрезок настолько, чтобы он стал вдвое больше меньшего отрезка. Проведенная линия разделена в крайнем и среднем отношении и большой отрезок ее есть больший отрезок первоначальной линии. Когда линия разделена в крайнем и среднем отношении, то, если меньший отрезок продолжить на половину большего отрезка, квадрат этой линии в 5 раз больше квадрата половины большего отрезка. Когда линия разделена в крайнем и среднем отношении, то, если проложить ее на величину, равную меньшему отрезку, вся линия будет также разделена в крайнем и среднем отношении, причем большим отрезком явится первоначальная линия… Когда линия разделена в крайнем и среднем отношении, квадрат этой линии, сложенный с квадратом меньшей части, втрое больше квадрата большей части. Во всякой рациональной линии, разделенной в крайнем и среднем отношении, каждый из отрезков есть „вычет»… Если приложить к стороне вписанного в круг десятиугольника сторону вписанного шестиугольника, то вся линия будет разделена в крайнем и среднем отношении, причем большим отрезком будет сторона шестиугольника… Если разделить сторону шестиугольника в крайнем и среднем отношении, то больший отрезок будет сторона десятиугольника. Все эти теоремы имеются уже в «Началах» Евклида.
Естественно напрашивается отсюда дальнейший вывод, что «золотое сечение» не было первичным исходным приемом архитектурно-геометрических построений, а побочным результатом их: архитектор не работал при помощи «золотых» отношений и не ставил их себе как сознательную конечную цель своих построений. Известно, что «золотые» отношения получаются при построении прямоугольника с отношением сторон 2:1, при построении десятиугольника, вписанного в круг, и т. д. С другой стороны, известно, что >/з приближенно равный 0,576, мало отличается от большого отрезка «золотого сечения» и Тимердинг28 остроумно назвал отношение 1: л/з «соперником» «золотого сечения». Отношение 1:>/2 равно отношению катетов прямоугольного треугольника, в котором меньший катет равен половине гипотенузы, или иначе — прямоугольного треугольника, представлющего собою половину равностороннего треугольника. На прямоугольники 2:1, на диагонали квадрата, на мноугольники имеются прямые указания в архитектурных трактатах античности, Средневековья и Возрождения, а о «золотом сечении» они молчат. Платон прямо называет «прекраснейшим» тот треугольник, у которого гипотенуза вдвое больше меньшего из катетов, то есть тот треугольник, который дает отношение 1: >/з. И показательно, что Альберти, не упоминающий о «золотом сечении», говорит о треугольнике 1: у/3. Вот его слова при перечислениях некоторых наиболее употребительных иррациональных отношений: « Наконец есть самая большая линия в треугольнике, меньшие стороны которого образуют прямой угол, и когда одна из них является стороной площади, равной 4 [то есть равна V? = 2], а другая равна корню из 12, то третья, самая большая линия, противолежащая прямому углу [гипотенуза], равна квадратному корню из шестнадцати». Что же приходится заключить из этого?
